C.T.E Abbes Laghrour Khenchela

The purpose of this course is to familiarize students with basics of

Statistics. This will be essential for prospective researchers and

professionals to know these basics.

المحور الثالث: دفعات بداية ونهاية المدة

الدفعات هي المبالغ المالية التدي تدفع دوريا (من فترة زمنية لأخرى) من شخص لشخص أو من شخص لبنك، قد تكون الفترات متساوية أو غير متساوية، تخضع هذه المعاملات الدورية التي يطلق عليها دفعات إلى تقنيات مالية و تجارية و هي تختلف من ناحية الدورات أو الفترة الفاصلة بين عملية و أخرى ومن ناحية الفوائد إن وجدت.

1. تعريف الدفعات المتساوية:

تعرف بأنها سلسلة من المبالغ المدفوعة أو المودعة في فترات زمنية منتظمة، أي أن الفاصل الزمني بين دفعتين متساو وثابت، ويمكن تمييز نوعين من الدفعات:

- دفعات نهاية المدة: وهي دفعات السداد (تسديد الديون والقروض)

- دفعات بداية المدة: وهي دفعات الإيداع (الإستثمار)

وقد يحدث وجود كلا النوعين في حالة واحة عندما نكون بصدد معالجة دفعات نهاية المدة بفترات تأخير أو تأجيل، أو بسبب عدم قدرة الأشخاص على الدفع في التاريخ المحدد.

هي تسديدات مالية دورية متساوية المبلغ يلتزم بمقتضاها عون اقتصادي بتسديد مبلغ ثابت في كل مرة على وحدات زمنية متساوية قد تكون سنة أو سداسي أو ثلاثي أو شهر...إلخ

تتميز الدفعات المتساوية بعدد من الخصائص:

- قيمة الدفعات المقدمة دوريا متساوية؛

- الفترة الفاصلة بين دفعة و أخرى متساوية؛

- معدل الفائدة المطبق متساوي.

2. الدفعات المتساوية لنهاية المدة:

1.2 القيمة المكتسبة لدفعات نهاية الفترة:

المقصود بها جملة المبالغ المدفوعة في آخر الفترة أو عند آخر دفعة، وتعطى وفق الصيغة التالية:ارجع للمحاضرة الحضورية

يمكن إستخراجها باتباع الخطوات التالية: بافتراض وجود عدة دفعات، قيمة الدفعة الواحدة a، و لدينا مدة تتضمن n فترة، و معدل فائدة i، فإن القيمة المحصلة لدفعات نهاية الفترة تكون كالآتي: ارجع للمحاضرة الحضورية

القيمة المحصلة للدفعات السابقة الموضحة في الشكل هي عبارة عن القيمة المحصلة لكل دفعة:

-      القيمة المحصلة للدفعة الأولى: a (1+i)^n-1

-      القيمة المحصلة للدفعة الثانية: a (1+i)^n-2

-      القيمة المحصلة للدفعة الثالثة: a (1+i)^n-3

-      القيمة المحصلة للدفعة j: a (1+i)^n-j

-      القيمة المحصلة للدفعة n-1: a (1+i)

-      القيمة المحصلة للدفعة n: a

مما سبق تكون القيمة المحصلة Vn على النحو التالي:

Vn= a + a(1+i)¹ + a(1+i)² + a(1+i)³+ … + a(1+i)^n-2 + a(1+i) ^n-1

نلاحظ من المجموع السابق بأنه عبارة عن متتالية هندسية متناقصة حدها الأول a و أساسها (1+i)

تقدم دفعات نهاية المدة في نهاية كل فترة، و عادة ما تستعمل لتسديد الديون أو لتغطية التزام سابق.

انطلاقا من قانون المتتالية الهندسية المتناقصة يمكن كتابة القيمة المحصلة Vn على النحو التالي: ارجع للمحاضرة الحضورية

المحور الثاني الفائدة المركبة

علمنا أن الفائدة البسيطة وتطبيقاتها لا تكون على المبالغ المالية المرسملة (المتراكمة) التي تراكمت مع فوائدها خلال فترات زمنية متوسطة أو طويلة (اكثر من سنة)، وعليه عندما نكون بصدد رسملة الفوائد (جمع او تراكم) مع رأس المال الموظف سنكون بصدد تطبيق الفائدة المركبة، هذه الأخيرة هي الأكثر شيوعا واستخداما، ولها قوانينها الخاصة والمختلفة عن الفائدة البسيطة.

1. تعريف الفائدة المركبة:

الفائدة المركبة هي ذلك المبلغ الذي يتحمله المقترض أو مستعمل الأموال والذي يقدمه في نفس الوقت إلى البنك أو المقترض أي صاحب المال، ويتحدد هذا المبلغ بالعوامل الأساسية وهي قيمة رأس المال ومدة استعماله ومعدل الفائدة المطبق عليه والمتفق عليه مسبقا بين الطرفين.

إذا، هي الفائدة التي لا تحتسب على المبلغ الأصلي فقط بل على هذا المبلغ وفوائده التي تضاف إليه عند نهاية كل فترة من الفترات السابقة، و نعبر عن هذه العملية برسملة الفوائد capitalisation des intérêts  أي يتم معاملة الفوائد كأنها رأس مال جديد يوظف في بداية كل فترة.[1]

وحتى تكون الفائدة مركبة يتعين على صاحب الأموال أو المستفيد منها عدم سحبها (الفائدة) وتركها تتراكم و مع رأس المال الأصلي وهذا ما يطلق عليه الرسملة وهذا ما يوضحه الجدول التالي:

لتوضيح مبدأ الرسملة نقترح المثال التوضيحي التالي:

أحسب جملة رأس مال قيمتهC = 100000 وظف لمدة 3 سنوات بفائدة مركبة:

نلاحظ من خلال الجدول السابق، تراكم رأس المال المدئي مع الفوائد المتحصل عليها، وهذا ما يعكس الزيادة السنويه في قيمته.

2. أوجه الاختلاف والتشابه بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة:

الجدول التالي يوضح الاختلافات بينهما:

المصدر: من إعدادنا اعتمادا على: عمر عبد الجواد عبد العزيز، الرياضيات المالية، دار صفاء للنشر و التوزيع، الطبعة الأولى، 1999، ص186

3. علاقة الجملة للفائدة المركبة:

إن المودع أو المقترض يهدف إلى تحصيل مبالغ مالية جديدة، (زيادة رأس ماله) وبالتالي فإن العملية في نهاية الفترة أو السنة تعطى ما يسمى بالجمله، وهي القيمة الناتجة عن جمع المبلغ الأصلي مع الفائدة المحصل عليها للفترة، وعلاقة الجملة هي العلاقة الأساسية المستعملة في الفائدة المركبة، 

حيث نرمز:

 V_n هي الجملة، A هي المبلغ الأصلي، i معدل الفائدة،  n عدد السنوات

وبتزايد عدد السنوات تتزايد (تتراكم) الفوائد المحصل عليها مع راس المال الموظف، وتترسمل، 

    على أساس أن الرسملة تشكل متتالية هندسية متزايدة ، وتكون الصيغة السابقة صالحة إذا كانت الفترة الزمنية بالسنوات (وهو الاستعمال الأكثر شيوعا) ويمكن ان تستعمل بالفترات سداسية او شهرية أو فصلية، ويشترط في ذلك أن تكون متكافئة مع المعدل المطبق، بمعنى معدل الفائدة سداسي للفترة السداسية، معدل فائدة شهري للفترة الشهرية.

مثال:

مبلغ مالي قدره 65000دج، أودع في البنك لمدة 6 سنوات بمعدل فائدة مركبة 7.5 % سنويا،

المطلوب أوجد ما يلي:

- الفائدة المحصل عليها في نهاية السنة الأولى من الإيداع

- الفائدة المحصل عليها في السنة الرابعة فقط

- الجملة المحصل عليها في نهاية المدة

المحور الاول: الفائدة البسيطة

من خلال المتابعة اليومية للنشاطات التجارية والمالية، نلاحظ أنها تتميز بالدفع نقدا أو الدفع لأجل، أو كلا الطريقتين في آن واحد، ومن المعاملات المالية ما يتميز بالبساطة وهناك أنواع آخرى تتصف بالتعقيد من حيث الإجراءات، المدة الزمنية، معدل الفائدة المطبق، وطريقة خصم الأوراق التجارية ومتابعة الحسابات الجارية ذات الفوائد...الخ

إن الفائدة البسيطة (ومن التسمية) تتميز بالسهولة والبساطة وترتبط بالمعاملات قصيرة الاجل، وفيما يلي سنوضحها أكثر.

تعريف الفائدة البسيطة:

الفائدة هي العائد الذي يحصل عليه الشخص الذي يقوم بتوظيف ماله في مؤسسة مالية بمعدل ثابت، أو المبلغ الذي يدفعه المقترض إلى المقرض " صاحب المبلغ المالي" مقابل انتفاعه بالقرض، فالفائدة من وجهة نظر الطرفين ( الدائن و المدين) فالمقترض بالنسبة له تعتبر كأجر يدفعه مقابل استعمال المبلغ المالي الذي هو القرض، أما من وجهة نظر المقرض أي صاحب رأس المال فهي تعتبر كمدخل ناتج عن التوظيف لهذا المبلغ

. حساب الفائدة البسيطة:

من التعريف يتضح أن الفائدة البسيطة تحكمها ثلاث عناصر وهي الزمن (المدة)، معدل الفائدة، قيمة رأس المال المقترض، وعليه يمكن تحديد قيمة الفائدة البسيطة باستخدام الصيغة التالية:

- المبلغ الأصلي أو رأس المال المستثمر نرمز له بالرمز A

- معدل الفائدة  نرمز له بالرمز i (أحيانا نرمز له بالحرف  t)

- مدة الاستثمار نرمز له بالرمز n

- نرمز للفائدة البسيطة بالرمز Is،

- حساب الفائدة البسيطة: تتم عملية حساب الفائدة البسيطة وفق الصيغة:

Is=A×i×n

- حساب الجملة: ونقصد بها مجموع رأس المال والفوائد المتراكمة وتحسب وفق الصيغة:

Is=(A×i×n)+A Is= A[(i×n)+1)]

ملاحظات هامة:

- لا بد أن تتفق المدة مع المعدل المطبق عند حساب الفائدة.

- المدة غالبا لا تكون بالسنوات لذلك يجب تحويلها بالسنوات، فإذا كانت المدة بالشهور تحول إلى سنوات بالقسمة على 12، أما إذا كانت بالأيام تحول إلى سنوات بالقسمة على 360 فى حالة الفائدة التجارية أو بالقسمة على 365 فى حالة الفائدة الصحيحة.

- تكون السنة بسيطة عندما يكون فيها شهر فيفري 28 يوما وتكون السنة بسيطة فى حالة إذا تم قسمة السنة على 4 ووجد لها باقى.